Логическият съюз на импликацията отговаря на израза „ако …, то ...“. Пример:
Ако на Марс има живот, то на Марс има вода.
„То“-то в „ако …, то …“ често се изпуска. Импликацията се представя символно с „→“1. Ако „p“ представя символно изречението „На Марс има живот“, а „q“ – „На Марс има вода“, то горното изречение ще се представи символно с „p→q“. Освен самият логически съюз, „импликация“ се нарича и условното изречение, което се образува чрез него.
Твърдението, което изразява условието в една импликация, т.е. което стои след частицата „ако“, се нарича антецедент, а зависимото от условието твърдение се нарича консеквент. В примера антецедентът е „На Марс има живот“, а консеквентът „На Марс има вода“. В „p→q“ съответно антецедентът е „p“, а консеквентът „q“. В логическата символика редът на антецедента и консеквента е фиксиран: антецедентът винаги е на първо място, а консеквентът на второ. Напротив, в естествения език антецедентът може и да е на второ място, а консеквентът на първо. Изречението „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“ казва същото като изречението „На Марс има вода, ако на Марс има живот“ – в първото антецедентът е на първо място, а консеквентът на второ, докато във второто е обратно. И двете се представят символно с „p→q“. Не редът на изреченията, а частицата „ако“ показва кой е консеквентът и кой антецедентът в ако-твърденията от естествения език – антецедентът е изречението, което стои след „ако“.
Таблицата за истинност на импликацията е следната:
| α | β | α → β |
| И | И | И |
| И | Н | Н |
| Н | И | И |
| Н | Н | И |
Нека видим защо тази таблица отговаря на значението на израза „ако …, то …“. Да вземем отново като пример изречението „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“. В случай че се окаже, че на Марс има живот, но няма вода (2-ия ред на таблицата), тогава то очевидно е неистинно. Ако се окаже, че на Марс има живот и има вода (1-вия ред), това е в съгласие с твърдението и то е истинно. Що се отнася до другите два реда на таблицата, казващият твърдението се ангажира, че на Марс има вода, само в случай че на Марс има живот. Той не се ангажира с нищо, ако условието да има живот на Марс не е изпълнено. Затова в случаите, отговарящи на последните два реда на таблицата (когато няма живот, но има вода, и когато няма нито живот, нито вода), твърдението е в съгласие с положението на нещата и е истинно.
Както показва таблицата за истинност, една импликация е неистинна в един единствен случай – когато антецедентът ѝ е истинен, а консеквентът ѝ е неистинен. Така че това което казваме с „ако 𝛼, то 𝛽“ е, че не е такъв случаят, че 𝛼 е истинно, а 𝛽 е неистинно. С други думи „𝛼→𝛽“ има същия смисъл като „¬(𝛼∧¬𝛽)“.
От последните два реда на таблицата за истинност се вижда, че ако антецедентът на една импликация е неистинен, то независимо какъв е консеквентът й (истинен или неистинен), тя ще е истинна. Таблицата също така показва (първия и третия ред), че ако консеквентът на една импликация е истинен, тя ще е истинна, независимо от истинностната стойност на антецедента й. Това обуславя истинността на твърдения като „Ако Земята е куб, то Луната е в задния ми джоб“ (твърдението е истинно, защото Земята не е куб, поради което истинностната стойност на второто твърдение е без значение), както и истинността на твърдения като „Ако 2+2=4, то София е столица на България“ (истинно е, защото София е столица на България; истинностната стойност на първото твърдение е без значение). Макар че подобни изречения са истинни, като правило не ги употребяваме (освен в случаи като „Ако това е вярно, аз съм трамвай“), защото истинността им се дължи на истинността или неистинността само на едното от изреченията, които съдържат. За да имаме право да утвърждаваме такива импликации, трябва да знаем, че едното от двете твърдения е истинно (съответно неистинно). Но ако знаем това, по-добре е да изкажем директно самото твърдение (или отрицанието му), а не да го свързваме чрез „ако, то“ с друго твърдение, тъй като по този начин бихме предали по-малко информация от тази, с която разполагаме. Например, ако твърдо съм решил да отида на кино без значение какво е времето и кажа на някого „Ако времето е лошо, ще отида на кино“, не бих излъгал (твърдението е истинно, защото консеквентът му е истинен), но бих предал по-малко информация от тази, с която разполагам, защото знам, че и да е хубаво времето, пак ще отида на кино. Поради това като правило правим твърдения с формата „Ако p, то q“, когато не знаем истинностните стойности на p и q. Основанието ни за тези твърдения тогава е някаква връзка, било то причинна връзка, логическо следване или някаква друга връзка между това което p и q изразяват. Основанието за едно твърдение обаче е нещо различно от това, какво твърдението изразява. С „ако…, то …“ не изразяваме нито причинна връзка, нито логическо следване, нито друг вид закономерност – единственото нещо, което твърдим, е, че не е такъв случаят, че p e истинно, а q не e.
Изразите „ако“ и “само ако” имат различен смисъл. “Само ако” също изразява импликация, но местата на антецедента и консеквента в нея са разменени. Да вземем за пример „Само ако на Марс има живот, на Марс има вода“. Изречението е същото като това, коeто използвахме по-горе, с тази разлика, че „ако “е заменено със „само ако“. Ако представим символно (както преди) „На Марс има живот“ с „p“ и „На Марс има вода“ с „q“ и ги заместим в изречението, получаваме „Само ако p, q“, което е същото като „q само ако p“. Смисълът на последното изречение е, че ако p не е факт, q също няма да е факт. Изречението изключва възможността q да е истинно, а p да не е, и следователно има смисъла на „Не е такъв случаят, че q е истинно, а p не“, символно „¬(q∧¬p)“. През един параграф по-горе обаче видяхме, че последното изречение е еквивалентно на „q→p“. Така че като цяло получаваме, че „Само ако p, q“ отговаря на „q→p“. Добавянето на „само“ към „ако“ сменя местата на антецедента и консеквента в импликацията – изречението, което преди е било антецедент, сега става консеквент, а консеквентът става антецедент. „Ако p, то q“ и еквивалентното му „q, ако p“ се представят символно с „p→q“. „Само ако p, q“ и еквивалентното му „q само ако p“ се представят символно с „q→p“. Правилото, което може да следваме, за определяме кой е антецедентът и кой консеквентът в едно изречение от естествения език, съдържащо „ако“ или „само ако“, е следното. Трябва да гледаме не редът на изреченията, а кое изречение стои след „ако“ или „само ако“. След „ако“ стои антецедентът (другото изречение е консеквентът), а след „само ако“ стои консеквентът (другото изречение е антецедентът).
Долната таблица обобщава казаното:
| Форма на изречението на български | Символно представяне |
| Ако p, то q. | p → q |
| q, ако p. | p → q |
| Само ако p, q. | q → p |
| q само ако p. | q → p |
Начините да се изрази импликация не се ограничават до „ако“ (съответно „само ако“). Импликация например изразяват изразите „при условие че“ и „в случай че“, които са взаимнозаменяеми с „ако“. Изречението „При условие (в случай) че Иван се извини на Мария, тя ще му прости“ не казва нещо по-различно от „Ако Иван се извини на Мария, тя ще му прости“. Вместо „ако“ често се използва и „когато“ – „Мария ще прости на Иван, когато той ѝ се извини“.
От друга страна изразът „ако…, то…“ не винаги изразява импликация. Понякога с него се образуват така наречените „общи категорични твърдения“ (наричани още „формални импликации“)2. Тяхната логическа структура не може да се анализира адекватно в пропозиционалната логика, поради което в нея те се разглеждат като атомарни твърдения. Такова е например изречението „Ако Иван харесва нещо, то Мария не го харесва“. То може да се перифразира с „Каквото и нещо да вземем, ако Иван го харесва, Мария не го харесва“ и се свежда до всички импликации, които се получават чрез схемата „Ако Иван харесва…, Мария не харесва…“, като на мястото на точките се сложи произволен термин (един и същ и на двете места) – „Ако Иван харесва футбол, Мария не харесва футбол“, „Ако Иван харесва Ана, Мария не харесва Ана“ и т.н. Изречението „Ако Иван харесва нещо, то Мария не го харесва“ е истинно, ако всички тези импликации са истинни. Броят на импликациите, до които се свеждат такива твърдения, би могъл да е безкраен. Това може да се види от изречението „Ако едно естествено число е четно, то се дели на 2“, което съдържа по една импликация за всяко естествено число („Ако 1 е четно, 1 се дели на 2“, „Ако 2 е четно, 2 се дели на 2“, …). Изречението е истинно, защото всички те са истинни. По-горе споменахме, че този вид твърдения понякога се наричат „формални импликации“. За да бъдат разграничени от тях, обикновените импликации се наричат още материални импликации.
Други ако-то-изречения в естествения език, които не са импликации, са така наречените контра-фактуални условни твърдения. Такова е например изречението „Ако Ирак не беше нападнал Кувейт, САЩ нямаше да нападнат Ирак“. Граматически, те се различават от импликациите по условното наклонение – в импликациите наклонението е изявително. Изречението след „ако“ в контра-фактуалните условни твърдения (това което би трябвало да отговаря на антецедента, ако бяха импликации) е винаги неистинно (те ни казват какво щеше да стане, ако беше истинно), поради което, ако бяха импликации, щяха да бъдат тривиално истинни. (При неистинен антецедент импликацията е истинна независимо от консеквента.) Ясно е обаче, че това, дали изречението „Ако Ирак не беше нападнал Кувейт, САЩ нямаше да нападнат Ирак“ е истинно, или не, зависи от различни неща относно международното положение и политическата ситуация; то не е тривиално истинно само защото Ирак е нападнал Кувейт. Подобно на формалните импликации от предишния параграф логическата структура на контра-фактуалните условни твърдения не може да бъде адекватно представена в езика на пропозиционалната логика – за последната тези изречения са атомарни (представят се символно с „p“, „q“…). За да се отчете логическата им структура е нужна модална логика, в която има оператори за необходимост и възможност.
Нека отново подчертаем: импликацията не изразява логическо следване или друга връзка, различна от отношението по истинност, давано от нейната таблица за истинност. Ако от някакво изречение А логически следва някакво изречение B, импликацията между тях (изречението „Ако А, то В“) задължително е истинна, тъй като тогава не е възможно А да е истинно, а В да е неистинно. Обратното обаче не е вярно. Между А и В може да няма никаква връзка и „Ако А, то В“ да е истинно, само защото А e неистинно или защото В е истинно. Например изречението „Ако 2+2=4, то София е столица на България“ е истинно, но разбира се от първото не следва второто. По същия начин импликацията не изразява причина връзка или каквато и да е друга връзка, утвърждавана в теория или вярване. Друг е въпросът, че основанията ни, за да изказваме твърдения с формата на импликация, често произтичат от такива връзки (въпросните твърдения обаче не ги изразяват).
Примери за импликация:
| p → q | p | q |
| Ако Иван е бил там, то ръкавицата е негова. | Иван е бил там. | Ръкавицата е на Иван. |
| Ще свършиш зле, ако не ме послушаш. | Няма да ме послушаш. | Ще свършиш зле. |
| Само ако Иван спре да пие, Мария ще продължи да бъде с него. | Мария ще продължи да бъде с Иван. | Иван ще спре да пие. |
| Реколтата ще добра реколта само ако през пролетта има достатъчно валежи. | Реколтата ще добра. | През пролетта ще има достатъчно валежи. |
| Световен правов ред ще има само тогава, когато отделните държави се откажат от своя суверенитет. | Ще има световен правов ред. | Отделните държави ще се откажат от своя суверенитет. |
Еквивалентност наричаме логическия съюз, който отговаря на израза „ако и само ако“. Пример: „Мария ще прости на Иван, ако и само ако той ѝ се извини“. За да се различи от отношението на логическа еквивалентност (която означава взаимно логическо следване), логическият съюз на еквивалентността се нарича още материална еквивалентност.
Очевидно в едно изречение с формата на еквивалентност „q, ако и само ако p“ се съдържат две твърдения – „Ако p, то q“ и „Само ако p, q“. Тъй като, както видяхме, „само ако“ изразява импликация с консеквент твърдението след „само ако“, „Само ако p, то q“ може да се перифразира с „Ако q, то p“. Получава се, че „ако и само ако“ изразява импликация в двете посоки – „Ако p, то q, и ако q, то p“. Последният израз се представя символно с „(p→q)∧(q→p)“. Това е един възможен начин за символно представяне на изреченията с формата на еквивалентност. За по-кратко обаче се въвежда специален символ: „↔“. „p, ако и само ако q“ се представя символно с „p↔q“3.
Както видяхме, едно изречение с формата на еквивалентност α↔β съдържа в себе си импликациите α→β и β→α. Първата изключва възможността α да е истинно, а β неистинно, а втората изключва възможността α да е неистинно, а β истинно. Получава се, че α↔β е истинно само когато α и β имат еднаква истинностна стойност – или и двете са истинни, или и двете са неистинни. Така получаваме следната таблица за истинност за еквивалентността:
| α | β | α ↔ β |
| И | И | И |
| И | Н | Н |
| Н | И | Н |
| Н | Н | И |
α↔β е истинно в първия ред (когато α и β имат стойност И) и в последния ред (когато α и β имат стойност Н). Когато α и β имат различна истинностна стойност (средните два реда), α↔β е неистинно.
„Само ако p, q“ може да се перифразира с „Ако p не е факт, и q няма да е факт“. С други думи „Само ако p, q“ ни казва същото като „Ако не-p, то не-q“. Следователно, като заменим съдържащото се в една еквивалентност „Само ако p, q“ с „Ако не-p, то не-q“, получаваме, че материалната еквивалентност между p и q може да се изрази и така: „Ако p, то q, и ако не-p, то не-q“. Символно: „(p→q)∧(¬p→¬q)“. Например, следните две твърдения ни казват едно и също нещо:
| Мария ще прости на Иван, ако и само ако той ѝ се извини. |
| Ако Иван се извини на Мария, тя ще му прости, но ако не ѝ се извини, тя няма да му прости. |
Макар че строго погледнато (материална) еквивалентност се изразява с „ако и само ако“, „тогава и само тогава“ и др., често в разговорния език (а и не само там) първото „ако“ в „ако и само ако“ и първото „тогава“ в „тогава и само тогава“ се изпускат. Ако смятаме, че Мария ще прости на Иван, ако той ѝ се извини, и няма да му прости, ако не се извини, съвсем възможно е да споделим това с изречението „Мария ще прости на Иван само ако той и се извини“, въпреки че строго погледнато по този начин казваме, че Мария няма да прости на Иван, ако той не ѝ се извини, и не се ангажираме дали ще му прости, или не, ако ѝ се извини. Ако искаме да сме прецизни, в случаи като този би трябвало да използваме „ако и само ако“ или „тогава и само тогава“. Нуждата от прецизност в изразяването е причината „ако и само ако“ и „тогава и само тогава“ да се употребяват най-често в математиката.
Примери за (материална) еквивалентност:
| p ↔ q | p | q |
| Мария ще прости на Иван тогава, когато той ѝ се извини; и само тогава. | Мария ще прости на Иван. | Иван ще се извини на Мария. |
| Задачата ще се счита за решена, ако и само ако са решени всичките ѝ подусловия. | Задачата ще се счита за решена. | Всички подусловия на задачата ще бъдат решени. |
| Лунно затъмнение има тогава и само тогава, когато Земята се намира между Луната и Слънцето. | Има лунно затъмнение. | Земята се намира между Луната и Слънцето. |
Когато едно изречение от естествения език е по-сложно, поради което не е очевидно как може да се представи символно, символизирането му е добре да става стъпка по стъпка в посока от цялото изречение към частите му. Ще покажем с пример какво се има предвид с това. Искаме да представим символно следното сложно изречение:
| Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще бъдат увеличени заплатите, нито ще има коледни надбавки. |
Първо си задаваме въпроса каква е формата на твърдението като цяло, т.е. дали е ако-то-твърдение (импликация), и-твърдение (конюнкция), или-твърдение (дизюнкция) и т.н. Твърдението започва с „ако“, което показва, че в него участва импликация, но от това все още не следва, че тя е главният логически съюз. По принцип антецедентът на една импликация стои между „ако“ и „то“ (ако изобщо има „то“), а консеквентът е твърдението след „то“, но за него няма граматически знак, който да показва къде свършва. За да е главният логически съюз, импликацията трябва да обхваща цялото изречение, което значи, че консеквентът трябва да започва от „то“ и да стига до края на изречението. Интуитивно ясно е, че тук нещата стоят по този начин – консеквентът е изречението „Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки“. Главният логически съюз е импликация и цялото изречение има формата на импликация. Щом е така, като първа стъпка от символното представяне пишем знакa за импликация и от двете му страни заградени в скоби слагаме нейния антецедент и консеквент (съответно отляво и отдясно) така както са си в естествения език:
| (1) | (Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат) → (Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки) |
Заграждаме двете изречения в скоби, защото те самите вероятно ще се окажат съставни, а в символния език, ако съставно изречение е част от изречение, то се загражда в скоби (изключение правят само изреченията с формата на отрицание).
Като следваща стъпка, абстрахирайки се от всичко останало, се насочваме към първото от двете изречения, които все още са на естествен език. Отново се питаме какво е като цяло изречението „Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат“. Очевидно е конюнкция между едно атомарно изречение („Кризата ще продължи“) и отрицанието на едно атомарно изречение („Данъците ще се увеличат“). Представяме символно първото от тях с „p“ (или с друга буква), а второто с „q“, и заместваме в (1) „Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат“ с „p∧¬q“:
| (2) | (p∧¬q) → (Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки) |
Като следваща стъпка отново се питаме какво като цяло е участващото в (2) изречение от естествения език „Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки“. Отговорът е, че е „или“-твърдение – дизюнкция между изреченията „Ще има актуализация на бюджета“ и „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки“. Първото от тях е просто. Представяме го символно с „r“, след което заместваме цялото изречение с дизюнкцията между r и „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки“, последното заградено със скоби:
| (3) | (p∧¬q) → (r ∨ (Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки)) |
Очевидно, съдържащото се в (3) изречение от естествения език „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни надбавки“ като цяло е „нито-нито“-твърдение. Такива твърдения са конюнкции между две отрицания. В случая последните са отрицания на прости твърдения – „Ще се увеличат заплатите“ и „Ще има коледни надбавки“. Затова представяме символно първото с „s“, второто с „t“, слагаме пред тях отрицания, и ги свързваме с конюнкция:
| (4) | (p∧¬q) → (r ∨ (¬s ∧ ¬t)) |
За по-лесно четене може да заменим някои от скобите с друг вид скоби (квадратни или къдрави). Като цяло за символното представяне на началното сложно твърдение получаваме следното:
| Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще бъдат увеличени заплатите, нито ще има коледни надбавки. |
(p∧¬q) → [r ∨ (¬s ∧ ¬t)]
| p – Кризата ще продължи. |
| q – Данъците ще се увеличат. |
| r – Ще има актуализация на бюджета. |
| s – Ще се увеличат заплатите. |
| t – Ще има коледни надбавки. |
| (1) Представете символно всяко от твърденията. Предварително посочете с кои букви (p, q, r…) сте представили символно атомарните твърдения. |
| 1) | Ако сме живи и здрави, следващата година пак ще се видим. |
| 2) | Ако вали дъжд или е студено, партито няма да е на двора. |
| 3) | В случай че световната рецесия продължи, ако не се намалят данъците, ще има стагнация и банкови фалити. |
| 4) | При условие че Иван е запознат с клаузите на договора и го подпише, ако в бъдеще не го изпълнява, то или ще плати глоба и имота му ще бъде конфискуван, или ще влезе в затвора. |
| 5) | Иван ще отиде на партито само ако Мария не отиде. |
| 6) | Иван ще спре да ти се сърди тогава и само тогава, когато си вземеш думите назад и му се извиниш. |
| 7) | Ако нарушиш закона, ще бъдеш наказан, независимо дали си знаел, че го нарушаваш, или не. |
| 8) | Ако пазачът не е виновен, то или е произвел предупредителен изстрел, или не е застрелял крадеца. |
| 9) | Ако ключовете не са в джоба на панталона ми или в чантата, то или съм ги загубил, или съм ги забравил вкъщи. |
| 10) | Не е вярно, че Иван ще отиде на концерта, ако Ана и Мария отидат. |
| 11) | Ще отидем на кино или ресторант, но не и на двете. |
| 12) | Ще има гъби само ако е топло и влажно. |
| 13) | Иван ще дойде на срещата, а ако Петър е казал на Мария, също и тя. |
| 14) | Ако Ана има нужда от помощ и Мария не ѝ помогне, то и Ана няма да помогне на Мария, ако тя има нужда от помощ. |
| 15) | Мария ще отиде в Созопол, ако също и Ана отиде, и обратно. |
| 16) | Иван ще дойде на партито, ако и само ако Мария не дойде. |
| 17) | Ако и брат ми, и сестра ми отидат на тържеството, тогава аз няма да отида, но ако само брат ми отиде, тогава и аз ще отида. |
| 18) | Ако пазачът е застрелял крадеца, то ако не е произвел предупредителен изстрел, пазачът е виновен. |