За разлика от модалните логики, които са разширения на класическата (пропозиционална и предикатна) логика, тризначните логики са нейни алтернативи, тъй като се отказват от един от основните ѝ принципи – този на бивалентността:
| Принцип на бивалентността: |
| Всяко твърдение е истинно или неистинно. |
В контекста на обсъждането на тризначните логики трябва да бъдем внимателни и да не смятаме за синонимни (както сме свикнали заради принципа на бивалентността) изразите „неистинно“ и „не е истинно“. „Истина“ (И) и „неистина“ (Н) са двете стандартни истинностни стойности. Посредством изречението „p е неистинно“ за p се утвърждава, че има стойност „неистина“ (Н), докато посредством „p не е истинно“ за p се отрича, че има стойност „истина“ (И), но с това не се утвърждава непременно, че има стойност „неистина“ (Н) (може да има някаква трета истинностна стойност.) Горният принцип утвърждава, че всяко твърдение има едната от двете стандартни истинностни стойности (И или Н) и така отрича съществуването на трета истинностна стойност. Напротив, в тризначните логики се приема, че някои твърдения не са нито истинни, нито неистинни, а имат трета истинностна стойност – от там и името им.
Ако, както е естествено, подразбираме участващото във формулировката на принципа на бивалентността „или“ като изключващо „или“ (всяко твърдение е истинно или неистинно, но не и двете заедно), принципът на бивалентността е еквивалентен на формулираните от Аристотел закон за изключеното трето и закон за непротиворечието. Ако искаме да интерпретираме „или“-то като включващо, тогава е еквивалентен само на закона за изключеното трето. Нека видим защо. Да формулираме първо двата Аристотелови закона.
| Закон за непротиворечието: |
| Едно твърдение (α) и неговото отрицание (¬α) не могат да бъдат едновременно истинни. |
| Закон за изключеното трето: |
| За всяко твърдение (α) и неговото отрицание (¬α) важи, че едното е истинно. |
Принципът на бивалентността следва от двата закона поради следното. Ако, в съответствие със закона за изключеното трето, α е истинно, то това потвърждава принципа. По принцип, поради смисъла на отрицанието, ако едно твърдение има стойност И или стойност Н, то неговото отрицание има съответно стойност Н или стойност И, и обратно. Едно твърдение може да е нито истинно, нито неистинно само ако отрицанието му е нито истинно, нито неистинно, и обратно. Така че в другия случай, който е в съгласие със закона за изключеното трето, ако истинното твърдение е ¬α, то α ще е неистинно, което пак потвърждава принципа на бивалентността. Получава се, че ако закона за изключеното трето е валиден, то α (произволно твърдение) е истинно или неистинно (или и двете). Изключващият смисъл на „или“-то идва от закона за непротиворечието: ако α е както истинно, така и неистинно, то (понеже α е неистинно) ¬α ще е истинно, от което излиза, че α и ¬α са едновременно истинни, което противоречи на закона за непротиворечието. Обратното, това, че от принципа на бивалентността следват двата Аристотелови закона (или само закона за изключеното трето, ако „или“-то се интерпретира като включващо), се вижда лесно – α и ¬α са твърдения и значи (според принципа) всяко от тях трябва да има стойност И или Н и тъй като стойността на ¬α е обратната на α, едното ще е истинно, а другото неистинно.
Следователно, формулирайки и утвърждавайки двата закона, Аристотел индиректно утвърждава и принципа на бивалентността. Въпреки това, той изглежда е и първият, който се усъмнява в принципа на бивалентността, а по този начин и в закона за изключеното трето (без да поставя под съмнение закона за непротиворечието). В За интерпретацията (Aristotle, 1991) Аристотел казва, че някои твърдения за бъдещето не са нито истинни, нито неистинни. Такова според него е твърдението „Утре ще има морска битка“ в денят на изказването му. Основанието е, че ако беше истинно или неистинно в момента на изказването му, бъдещето щеше да е строго детерминирано по отношение на морската битка, защото още днес щеше да е определено дали ще има такава, или не. Ако твърдението е истинно, каквото и да правим, утре битка ще има; ако е неистинно, няма да има. Но понеже, както изглежда, бъдещето не е детерминирано, а зависи от нашите действия, то днес все още не е определено дали утре ще има морска битка, или не. Така (в противоречие с принципа на бивалентността и закона за изключеното трето) Аристотел заключава, че в момента на изказването му това изречение не е нито истинно, нито неистинно.
Аргументът на Аристотел не е неопровержим. В определен смисъл твърдението за утрешната морска битка би могло да е истинно или неистинно още днес и въпреки това (пак в определен смисъл) бъдещето да не е детерминирано поради следното. Нека под „възможен свят“ разбираме определено цялостно развитие на ситуацията в света във времето. В деня на произнасянето му твърдението е истинно във всеки възможен свят, в който на следващия ден има морска битка, и е неистинно във всеки възможен свят, в които няма. Кой обаче сред необозримо многото възможни светове ще се реализира и от само възможен ще стане действителен зависи (разбира се не изцяло) от нашите действия. Действайки по определен начин, ние способстваме да се реализира определен възможен свят. В него (и във всеки един от останалите нереализирани възможни светове) бъдещето е детерминирано и твърдението е истинно или неистинно в деня преди битката. В цялостната действителност, в която живеем обаче, бъдещето не е детерминирано, защото в нея не е детерминирано, кой ще е възможния свят, който ще се реализира (като цялостна история). Бъдещето е детерминирано само в отделните възможни светове, разбирани като определени цялостни развития на ситуацията във времето, но не е детерминирано в действителността, която включва всички такива възможни развития на ситуацията. Действайки, ние живеем в тази цялостна действителност.
Впрочем в споменатия пасаж на За интерпретацията, Аристотел отрича принципа на бивалентността, като в същото време прави опит да запази закона за изключеното трето. Опитът не изглежда убедителен. Той казва, че макар и изречението „Утре ще има морска битка“ днес да не е нито истинно, нито неистинно, то изречението „Утре ще има или няма да има морска битка“ е истинно (при това с необходимост) още днес, защото, както и да се развият нещата, утре или ще има, или няма да има морска битка. Това е опит за защита на закон за изключеното трето, защото последният може да се формулира и така: „α или не-α (α∨¬α) е винаги истинно“. Цялостната позиция обаче не е консистентна, защото (поради смисъла на „или“) ако една дизюнкция е истинна, то поне единият дизюнкт е истинен и значи (тъй като или α, или не-α е истинно) α трябва да е истинно или неистинно. Ако се отрича принципа на бивалентността, трябва да се отрече и законът за изключеното трето, и обратно; не може едното да се отрича, а другото не.
Инспириран от въпросния пасаж на За интерпретацията на Аристотел, в началото на 20-ти век полският логик Лукашевич създава първата тризначна логика (Lukasiewicz, 1920). В нея принципът на бивалентността не важи и буквите за твърдения освен стойност И и Н могат да имат трета истинността стойност, която ще отбелязваме с „#“. Смисълът й отговаря на „все още не е определено“ (дали е истинно, или не) в съгласие с разбирането на Аристотел за утрешната морска битка.
В тризначната логика на Лукашевич логическите съюзи имат алтернативни таблици за истинност, в които присъства трета истинностна стойност. Тези таблици са почти еднакви с таблиците за истинност, използвани по-късно от американският логик Клини (Kleene, 1938). Разликата е само в един ред от таблицата за импликацията, а от там и в един ред от тази за еквивалентността. Долу са дадени таблиците на Клини. По-късно ще видим каква е разликата между тях и таблиците за импликацията и еквивалентността на Лукашевич и каква е причината за въпросната малка разлика.
Таблицата за истинност на отрицанието е следната:
| α | ¬α |
| И | Н |
| # | # |
| Н | И |
Когато α има стойност И или Н, таблицата не се различава от стандартната таблица в пропозиционалната логика. Когато истинностната стойност на α e неопределена (#), стойността на ¬α също е неопределена (#). Ако, например, все още е неопределено дали утре ще има морска битка, ще е неопределено и дали няма да има морска битка.
Таблиците на дизюнкцията, конюнкцията и импликацията са следните:
| α | β | α ∨ β | α ∧ β | α → β |
| И | И | И | И | И |
| И | # | И | # | # |
| И | Н | И | Н | Н |
| # | И | И | # | И |
| # | # | # | # | # |
| # | Н | # | Н | # |
| Н | И | И | Н | И |
| Н | # | # | Н | И |
| Н | Н | Н | Н | И |
Първите две колони съдържат всички комбинации от три истинностни стойности за две изречения. Комбинациите са девет (всяка стойност за първото изречение се комбинира с всяка за второто, 3x3=9). Когато α и β имат стойност И или стройност Н (първи, трети, седми и девети ред на таблицата), истинностните стойности на дизюнкцията, конюнкцията и импликацията са същите както в пропозиционалната логика. По-интересни са случаите, когато α или β има стойност #.
Когато α има стойност И, а β стойност # (втория ред на таблицата), дизюнкцията между тях е истинна, защото истинността на единия дизюнкт е достатъчна, за да гарантира истинността на цялата дизюнкция (в истинностно-функционалния анализ И∨β беше еквивалентно на И). Интерпретирайки # в духа на Аристотел като (все още) неопределено (дали е истинно или неистинно), то, както и да се определи β, дизюнкцията ще е истинна поради истинността на α. При същите стойности на α и β конюнкцията между тях ще има стойност #, защото, когато α е истинно, α∧β има същата истинностна стойност като β (в истинностно-функционалния анализ И∧β беше еквивалентно на β), а истинностната стойност на β е неопределена. При същите стойности на α и β импликацията между тях ще има стойност #, защото, когато α е истинно, истинностната стойност на α→β е същата като тази на β (в истинностно-функционалния анализ И→β беше еквивалентно на β).
Когато α има стойност #, а β – стойност И (четвъртия ред на таблицата), истинностните стойности на дизюнкцията и конюнкцията са същите като в предишния случай – стойностите на α и β са разменени, а редът на членовете в една дизюнкция или конюнкция е без значение. Импликацията между α и β обаче ще е истинна, защото консеквентът ѝ β е истинен, а това е достатъчно за да осигури истинността на α→β независимо от истинностната стойност на α (в истинностно-функционалния анализ α→И беше еквивалентно на И).
Когато истинностните стойности на α и β са неопределени (петия ред на таблицата), истинностната стойност на дизюнкцията, конюнкцията и импликацията също са неопределени. α и β могат да се определят във всяка възможна комбинация от истинност и неистинност, което позволява трите съставни твърдения да се окажат както истинни, така и неистинни, т.е. неопределени са. Това е случаят, в който таблиците на Клини и Лукашевич се различават (разликата в таблицата на еквивалентността може да се разглежда като следствие от тази разлика). Според таблицата на Лукашевич в този случай (когато и двете изречения имат стойност #) стройността на α→β не е неопределена, а е истина. Причината за този избор на Лукашевич не е семантична, т.е. не е свързана със значението на „ако…, то…“. По-долу ще видим с какво е свързана.
Когато α има стойност #, а β стойност Н (шестия ред на таблицата), дизюнкцията между тях има стойност #, защото, когато единият дизюнкт е неистинен, истинностната стойност на дизюнкцията е същата като тази на другия дизюнкт (в истинностно-функционалния анализ α∨Н беше еквивалентно на α). Конюнкцията между α и β в този случай е неистинна, защото когато единият конюнкт е неистинен, конюнкцията е неистинна, независимо от стойността на другия конюнкт (в истинностно-функционалния анализ α∧Н беше еквивалентно на Н). Импликацията между α и β има стойност #, защото ако консеквентът на една импликация е неистинен, истинностната стойност на импликацията е обратна на истинностната стойност на антецедента (в истинностно-функционалния анализ α→Н беше еквивалентно на ¬α), а последната е неопределена (по-горе видяхме, че когато α има стойност #, ¬α също има стойност #, и обратно).
Когато α е неистинно, а β е неопределено (предпоследния ред), истинностните стойности на дизюнкцията и конюнкцията са същите като в предишния случай – стойностите на α и β са разменени. Импликацията в този случай е истинна, защото при неистинен антецедент тя е винаги истинна независимо от истинностната стойност на консеквента (в истинностно-функционалния анализ Н→α беше еквивалентно на И).
След като разполагаме с таблиците за истинност на конюнкцията и импликацията, можем да изведем таблицата за истинност на еквивалентността, като построим таблицата на (α→β)∧(β→α). Последният израз и α↔β би трябвало да са логически еквивалентни, поради което таблиците им (т.е. последните колони в тях) трябва да са едни и същи. По принцип построяването на таблица за истинност на произволна формула в тризначната логика не се различава от построяването на обикновена таблица за истинност освен по това, че в тризначната има повече истинностни стойности, а от там и повече редове.
| α ↔ β | ||||
| α | β | α→β | β→α | (α→β)∧( β→α) |
| И | И | И | И | И |
| И | # | # | И | # |
| И | Н | Н | И | Н |
| # | И | И | # | # |
| # | # | # И | # И | # И |
| # | Н | # | И | # |
| Н | И | И | Н | Н |
| Н | # | И | # | # |
| Н | Н | И | И | И |
В петия ред, който отговаря на случая, когато α и β имат стойност #, под α→β, β→α и (α→β)∧(β→α) има по две стойности. Първата e според тризначната логика на Клини, втората – според тази на Лукашевич.
Както в класическата, така и в тризначната пропозиционална логика (независимо дали във варианта на Клини, или на Лукашевич) конюнкцията и дизюнкцията могат да бъдат изразени една чрез друга с помощта на отрицанието. Схемата α∧β е логически еквивалентна на ¬(¬α∨¬β), а α∨β – на ¬(¬α∧¬β).1 Ако построим тризначните таблици на ¬(¬α∨¬β) и ¬(¬α∧¬β), ще видим, че те са същите като елементарните тризначни таблици на α∧β и α∨β.
Освен Аристотеловия аргумент за утрешната морска битка са предлагани и други основания за отхвърлянето на принципа на бивалентността и възприемането на тризначна логика. Едно такова основание е свързано с единичните термини, които не обозначат нищо (като „Пегас“ или „настоящият крал на Франция“). В 3.6 Равенство и определени описания разгледахме класическото решение на логическия проблем, който тези термини създават – теорията на Ръсел за определените описания. Там видяхме, че според Ръселовата теория всички (атомарни) изречения, в които участват единични термини, обозначаващи несъществуващи неща, са неистинни, защото се разглеждат като съставени от няколко свързани в конюнкция изречения, в едното от които се твърди, че такова нещо съществува. Например изречението „Настоящият крал на Франция е плешив“ се оказва неистинно, защото според Ръселовия анализ в него се съдържа изречението „Съществува настоящ крал на Франция“. Не всички са съгласни с този анализ. Сред тези, които не са съгласни, може би най-голяма известност е получила позицията на Стросън (Strawson, 1950) (Философия на логиката II, 2008). Според Стросън, Ръсел изопачава начина, по който се употребяват определените описания, като смята, че твърденията, в които има определени описания, съдържат твърдения за съществуване и единственост. Позицията на Стросън е, че в твърдението „Настоящият крал на Франция е плешив“ съществуването и единствеността на краля не се твърдят, а се предпоставят. В качеството си на предпоставяния, те не са част от твърдението, а необходими условия за правилната (смислената) му употреба. Тъй като в случая тези необходими условия не са изпълнени (Франция е република и няма крал), твърдението не е нито истинно, нито неистинно, а безсмислено. Нека, вместо „предпоставяне“, като технически термин използваме думата „пресупозиция“ („presupposition“ е английската дума за предпоставяне, използвана от Стросън). Под „пресупозиция на едно твърдение“ Стросън разбира изречение (или положение на нещата), което, за разлика от твърдението, не се утвърждава, а чиято истинност е необходимо условие за смислеността на твърдението. При употребата на определени описания има две такива пресупозиции – екзистенциална („Съществува настоящ крал на Франция“) и пресупозиция за единственост („Няма повече от един настоящ крал на Франция“). Формално, пресупозицията на едно твърдение би трябвало да се дефинира така:
| Изречението (положението на нещата) p е пресупозиция на изречението q, ако и само ако винаги когато p е неистинно, q не е нито истинно, нито неистинно (а безсмислено). |
Така, третата истинностна стойност (#) в теорията на Стросън отива при твърденията с неистинни пресупозиции.
Отхвърляне на принципа на бивалентността и съответно въвеждане на някакъв вид тризначна логика са предлагани и като решение на различни видове парадокси. Такива са например сорит парадоксите. Причина за тях са някои общи термини от всекидневния език (като „плешив“ или „купчина“), чиито смисъл не е строго определен и за които в гранични случаи е трудно да се каже дали нещо попада, или не попада под тях. Ясно е, че човек с много коса на главата си (да кажем 100 000 косъма) не е плешив и че много песъчинки на едно място (отново да кажем 100 000) e купчина; както е ясно и че човек с 1 косъм на главата си е плешив и че 1 песъчинка не е купчина. Ако обаче започнем да късаме един по един косми от главата на един неплешив човека или (за предпочитане) да махаме песъчинки от една купчина, рано или късно ще стигнем до момент, в който ще е трудно да се каже дали човекът все още не е плешив и дали песъчинките все още образуват купчина.
Сорит парадоксите2 са много стари. Формално, логическият проблем при тях е следният. Долните две предпоставки изглеждат истинни:
| 100 000 песъчинки (на едно място) са купчина. |
| Ако махнем от дадена купчина една песъчинка, тя ще продължи да бъде купчина. |
Ясно е, че от тях следва изречението „99 999 песъчинки са купчина“, което също трябва да е истинно. Но от последното и втората предпоставка следва изречението „99 998 песъчинки са купчина“. И т.н. Продължавайки, накрая ще изведем истинността на изречението „1 песъчинка е купчина“ (както и на „Човек без нито един косъм на главата си не е плешив“).
Отхвърлянето на принципа на бивалентността (съответно възприемането на тризначна логика) е предлагано като решение на сорит парадоксите (а и на други парадокси) по следния начин. Идеята е в граничните случаи, където не е ясно дали нещо попада, или не под термина, съответните изречения могат да се обявят за нито истинни, нито неистинни. Да приемем условно, че такъв граничен случай е изречението „1000 песъчинки са купчина“. Ако то не е нито истинно, нито неистинни, (понеже не е истинно) от него и втората начална предпоставка вече не можем да изведем истинността на „999 песъчинки са купчина“. Така че веригата от изводи се прекъсва.
Наистина остава неясно къде е границата, при която изреченията спират да са истинни и започват да са нито истинни, нито неистинни. Ако кажем, че това винаги може да се определи произволно, както в случая го определихме на 1000, то защо направо да не определим произволно, че 1000 или повече песъчинки са купчина, а по-малко от 1000 не са. Тогава втората предпоставка („Купчина без една песъчинка е пак купчина“) спира да е истинна, тъй като 1000 песъчинки са купчина, а 999 не са, което отново прекъсва веригата и решава парадокса. Но както и да е. В случая важното за нас е защо и как отхвърлянето на принципа на бивалентността и използването на тризначна логика са предлагани като решение на различни видове парадокси.
Основанията за отхвърляне на принципа на бивалентността, които разгледахме досега, бяха от два различни вида. За Аристотел изреченията, които не са нито истинни, нито неистинни („Утре ще има морска битка“), са коректни и смислени. Ще дойде момент, в който те ще станат истинни или неистинни, но в момента истинностната им стойност е (все още) неопределена. (Същото впрочем важи за предлаганото използване на тризначна логика в квантовата механика (Reichenbach, 1944). Например във въображаемата ситуация с котката на Шрьодингер в даден момент обективно не е определено дали изречението „Котката е жива“ е истинно, или неистинно, но в момента на отваряне на кутията истинностната стойност на това изречение става определена.) Напротив, когато критикува теорията на Ръсел за определените описания, Стросън разглежда твърденията, за които отрича да са истинни или неистинни („Кралят на Франция е плешив“), като некоректни, семантично безсмислени твърдения. Те нарушават определени правила за смисленост, поради което не са и никога няма да станат истинни или неистинни. Същото важи и при предлаганите решения на определени парадокси посредством разглеждането на някои изречения („1000 песъчинки са купчина“) като нито истинни, нито неистинни. Тези изречения не са и никога няма да станат истинни или неистинни, защото в граничните случаи въпросния предикат („купчина“, „плешив“) е неприложим. Така че имаме две принципно различни интерпретации на третата истинностна стойност #: 1) като неопределено и 2) като безсмислено.
Тризначните логики на Клини и Лукашевич, чиито таблици за истинност разгледахме, изхождат от първата интерпретация. Втората интерпретация е по-различна и налага промяна в таблиците, защото когато свържем чрез някакъв логически съюз смислено с безсмислено изречение, безсмислеността на последното, така да се каже, „заразява“ полученото съставно изречение и то също става безсмислено. Например, въпреки че „Сократ е философ“ е смислено и истинно изречение, а за да е истинна една дизюнкция е достатъчно единият от членовете ѝ да е истинен, по-скоро бихме сметнали изречението с формата на дизюнкция „Рслд ф кдсфй или Сократ е философ“ не за истинно, а за безсмислено.
Долните таблици за истинност се свързват с името на Бочвар (Бочвар, 1938) и отговарят на втората интерпретация на # – като безсмислено, а не като (все още) неопределено (дали е истинно или неистинно). (Таблицата на отрицанието е същата като при тризначните логики на Клини и Лукашевич.)
| α | β | α ∨ β | α ∧ β | α → β |
| И | И | И | И | И |
| И | # | # | # | # |
| И | Н | И | Н | Н |
| # | И | # | # | # |
| # | # | # | # | # |
| # | Н | # | # | # |
| Н | И | И | Н | И |
| Н | # | # | # | # |
| Н | Н | Н | Н | И |
Тези елементарни таблици на логическите съюзи са по-прости. Когато α и β имат стойност И или Н, истинностните стойности на дизюнкцията, конюнкцията и импликацията са същите като в класическата пропозиционална логика. Когато α или β (или и двете) имат стойност # (безсмислено), тя „заразява“ съставното твърдение и то също има стойност #.
За разлика от класическата пропозиционална и предикатна логика в тризначната логика (както впрочем и в модалната) има принципни проблеми, които хвърлят сянка върху логическия ѝ статут. Да разгледаме някои от тях.
В тризначната логика няма тавтологии. Дори формалните версии на законите за непротиворечието (¬(α∧¬α)) и изключеното трето (α∨¬α) не са тавтологии. Това е така, защото, когато дадем стойност # на всички букви за твърдения в една формула, както и да са свързани по-нататък тези букви посредством логически съюзи, цялата формула получава стойност #. Причината е, че отрицанието на формула, която има стойност #, също има стойност #, а конюнкцията, дизюнкцията, импликацията и еквивалентността между формули, които имат стойност #, също имат стойност #. Така че, каквато и да е логическата ѝ структура, цялата формула ще има стойност #, когато буквите ѝ за твърдения имат тази стойност, и значи няма да е тавтология (винаги истинна). Като пример долу са дадени таблиците за истинност на формалните варианти на законите за непротиворечието и изключеното трето:
| α | ¬α | α ∧ ¬α | ¬(α ∧ ¬α) | α ∨ ¬α |
| И | Н | Н | И | И |
| # | # | # | # | # |
| Н | И | Н | И | И |
Всъщност от разгледаните тризначни логики тавтологии липсват при логиките на Клини и Бочвар, но не и при тази на Лукашевич. В логиката на Лукашевич, поради приемането, че импликацията има стойност И, когато антецедентът и консеквентът й имат стойност #, някои формули, в които участват „→“ или „↔“, стават тавтологии. Лошото е, че, както изглежда, това, да има тавтологии, е била единствената причина за произволното приемане, че импликацията има стойност И, когато антецедентът и консеквентът й имат стойност #. Такава приемане е неоправдано от семантична гледна точка (от гледна точка на смисъла на „ако–то“, „и“, „не“ и т.н.). Защо например твърдението „Ако утре ще има морска битка, то утре ще има морска битка“ („p→p“) да е истинно в момента на изказването, а твърдението „Утре ще има морска битка или няма да има морска битка“ („p∨¬p“) да е неопределено, когато двете казват еднакво тривиални неща? Заради тази произволна промяна, в логиката на Лукашевич импликацията и еквивалентността стават неизразими (недефинируеми) чрез останалите логически съюзи, а взаимната изразимост (дефинируемост) на логическите съюзи („ако–то“, „и“, „не“ и т.н.) се съдържа в значението им. Идеята на тризначната логика е отхвърлянето на принципа на бивалентността, а не промяната на смисъла на логическите думи. В логиките на Клини и Бочвар логическите съюзи са взаимно дефинируеми по същия начин, както това е в пропозиционалната логика; при тях обаче тавтологии няма. Така че, както изглежда, по-последователната позиция е да се приеме като факт, че естеството на тризначната логика е такова, че изключва тавтологиите.
По-горе споменахме, че въпреки че изоставя принципа на бивалентността по отношение на изреченията за бъдещи събития, Аристотел не може да приеме факта, че тогава формалната версия на закона за изключеното трето (α∨¬α) престава да бъде тавтология (това е факт включително и в тризначната логика на Лукашевич). На същото място, където критикува принципа на бивалентността, Аристотел защитава логическата валидност на въпросната схема, казвайки, че твърдението „Утре ще има или няма да има морска битка“ е не само истинно, но е истинно с необходимост (че е тавтология в съвременни термини). Проблемът е, че ако α∨¬α е винаги истинно, от смисъла на „или“ следва, че едното от двете (α или ¬α) е винаги истинно, а в същото време се приема, че има случаи когато и двете не са такива.
Липсата на тавтологии е по-сериозен проблем за варианта на тризначна логика, при който третата истинностна стойност се схваща като (все още) неопределено (т.е. варианта на Клини и Лукашевич). Макар и сега изречението „Утре ще има морска битка“ (α) и неговото отрицание (¬α) все още да не са се определили по истинностна стойност, когато се определят, и както и да се определят, едното ще има стойност И, което ще направи дизюнкцията α∨¬α истинна. α∨¬α може да се определи само като истинна и никога като неистинна. Защо трябва сега (за разлика от утре) да разглеждаме истинностната ѝ стойност като неопределена? По същия начин това, че α и ¬α са неопределени по истинностна стойност, съвсем не значи, че противоречието, което се получава, когато бъдат свързани в конюнкция, също е неопределено по истинностна стойност – очевидно не е нужно да чакаме до утре, за да разберем, че това, едновременно да има и да няма морска битка, не може да е истинно (нито сега, нито утре).
Липсата на тавтологии е по-малко проблемна при другото тълкуване на третата истинностна стойност (като безсмислено), защото е допустимо да се приеме, че изречения като „Дъра-дъра или не дъра-дъра“ и „Дъра-дъра и не дъра-дъра“ са по-скоро безсмислени (т.е. имат стойност #, а не съответно И и Н). При това схващане на третата истинностна стойност обаче има други проблеми. Нека се върнем на теорията на Стросън за предпоставянията (пресупозициите) и твърдението „Кралят на Франция е плешив“. Това твърдение има две пресупозиции – за съществуване и за единственост, но за простота нека приемем, че е само една – за съществуване. (Проблемът, който ще посочим, е налице независимо от броя им.) Да разгледаме следното твърдение
| Ако съществува крал на Франция, то кралят на Франция е плешив. |
Изречението „Съществува крал на Франция“ е пресупозиция на твърдението „Кралят на Франция е плешив“, но не е пресупозиция на горното твърдение, защото е експлицитна част от него. Следователно цялото ако-то-твърдение няма неистинна пресупозиция, която да налага да получи стойност #, а не И или Н. Тогава, понеже антецедентът на импликацията („Съществува крал на Франция“) е неистинен, твърдението трябва да е истинно. То обаче има стойност # в тризначната логика на Бочвар, защото консеквентът на импликацията („Кралят на Франция е плешив“) има неистинна пресупозиция („Съществува крал на Франция“), което прави истинностната му стойност #, а последната заразява цялата импликация. В този случай по-адекватна би била тризначната логика на Клини, защото би дала на ако-то-твърдението стойност И, което изглежда правилно, но вече видяхме, че логиката на Бочвар е тази, която отговаря на начина, по който третата истинностна стойност се схваща в теорията на Стросън, тъй като неистините пресупозиции на твърденията ги правят безсмислени, а не (все още) неопределени (по истинностна стойност).
Проблеми има и с тризначната предикатна логика. Използването на тризначна логика за сорит парадоксите попада всъщност в сферата на последната. За да покажем един от тях, нека първо видим как универсалните и екзистенциалните твърдения получават истинностната си стойност в тризначната логика. По принцип универсалните твърдения (тези чиито символни представяния започват с универсален квантор) приличат на конюнкции, а екзистенциалните – на дизюнкции. Ако например „F“ представя символно предикатът „… е студент“, а универсумът на дискурса се състои от трима човека в една стая, които обозначаваме с „a“, „b“ и „c“, то изречението „Всички са студенти“ („∀xFx“) ще е еквивалентно на конюнкцията „a, b и c са студенти“ („Fa ∧ Fb ∧ Fc“). Съответно изречението „Някой е студент“ („∃xFx“) ще е еквивалентно на дизюнкцията „a, b или c е студент“ („Fa ∨ Fb ∨ Fc“). Всъщност ако универсумът на дискурса беше винаги краен, нямаше да имаме нужда от квантори, тъй като вместо универсални твърдения винаги бихме могли да използваме конюнкции, а вместо екзистенциални – дизюнкции. Когато универсумът на дискурса се състои от безкрайно много неща (както е например в математиката – числата са безкрайно много), на универсалните и екзистенциалните твърдения би трябвало да отговарят конюнкции и дизюнкции с безкрайно много членове, а безкрайни изречения няма. Все едно, тази връзка между универсалния квантор и конюнкцията, и екзистенциалния и дизюнкцията ни показва как в тризначната логика би трябвало да се определят истинностните стойности на ∀xFx и ∃xFx. И за двата вида тризначни логики (на Клини и на Бочвар) ∀xFx ще е истинно само ако F е истинно за всички неща от универсума на дискурса, защото и за двете логики една конюнкция е истинна само ако всичките ѝ членове са истинни. ∀xFx ще е неистинно за логиката на Клини (съобразявайки се с начина, по който конюнкциите получава там истинностните си стойности), ако F е неистинно за поне едно нещо от универсума на дискурса D, и ще има стойност #, ако в D няма нещо, за което F да е неистинно, но има поне едно нещо, за което има стойност #. За логиката на Бочвар ∀xFx ще е неистинно, само ако F е неистинно за всяко нещо в D. Ако има дори само едно нещо, за което F има стойност #, ∀xFx ще има стойност #. Като отчетем начина, по който дизюнкцията получава истинностните си стойности в двете тризначни логики, виждаме, че и за двете ∃xFx е неистинно само ако F е неистинно за всяко нещо от D. В логиката на Клини ∃xFx ще е истинно, ако F е истинно за поне едно нещо от D, независимо дали има, или няма неща, за които F да има стойност #. Ако няма неща, за които F да е истинно, но има поне едно нещо, за което F има стойност #, ∃xFx ще има стойност #. За логиката на Бочвар, ∃xFx ще е истинно само ако F е истинно поне за едно нещо и няма неща, за които F да има стойност #; в противен случай (ако F е истинно за някои неща и има стойност # за други) ∃xFx би имало стойност #.
Твърдения като „Всяка купчина е купчина“ и „Всеки плешив човек е плешив“ са очевидно истинни, но имат стойност # както за тризначната логика на Бочвар, така и за тази на Клини. За да видим защо, нека представим „купчина“ с „F“, „плешив“ с „G“ и „човек“ с „H“. Тогава първото изречение се представя символно с
| (1) | ∀x(Fx → Fx) |
а второто с
| (2) | ∀x[(Gx ∧ Hx) → Gx] |
Ако a е съвкупност от песъчинки, за която не може да се каже дали е купчина, или не (т.е. ако спада към граничните случаи за този термин), a b е човек, за който по същия начин не може да се каже дали е плешив, или не, то „Fa→Fa“ и „(Gb∧Hb)→Gb“ ще имат стойност # и за двата вида тризначни логики, защото антецедентът и консеквентът и на двете импликации имат стойност #. По-горе видяхме, че както за тризначната логиката на Бочвар, така и за тази на Клини, за да е истинно едно универсално твърдение, трябва предикатът съвпадащ с обхвата на универсалния квантор („Fx→Fx“ в (1) и „(Gx∧Hx)→Gx“ в (2)) да е истинен за всяко нещо. В случая не е така, защото a и b са неща, за които предикатите имат стойност #, а не И. За логиката на Бочвар последното автоматично значи (виж предишния параграф), че (1) и (2) имат стойност #. Като вземем предвид, че няма неща, за които предикатите да имат стойност Н, виждаме че двете изречения имат стойност # и за тризначната логика на Клини.
| (1) За всяка от формулите постройте две таблици – едната, отговаряща на тризначната логика на Клини, а другата на логиката на Бочвар. Всъщност използвайте една таблица, но пишете две стойности там където таблиците се различават. |
| 1) | p → ¬p |
| 2) | (p→¬q) ∧ p |
| 3) | ¬p ∨ (q∧¬q) |
| 4) | (p∧q) → (¬p∨¬q) |
| 5) | (p∨q) ↔ (¬p→q) |
| 6) | p → (q→(¬q→p)) |